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Dr. Alejandro Aguilar Zavoznik, UAM-A

[Música] [Música] Oh [Música] [Música] [Música] Oh [Música] [Música] Oh [Música] [Música] [Música] Oh [Música] Oh [Música] Oh [Música] [Música] Oh al al al al al al eh buena Buenas tardes a todos Muchas gracias por su asistencia Y también gracias a los que se encuentran escuchándonos por el zoom eh Muchas

Gracias por venir a celebrar con nosotros el segundo día internacional del día de las Matemáticas Y tenemos el gusto hoy eh de tener la plática del drct Alejandro Aguilar sabn quien es profesor investigador del departamento de ciencias básicas de la huam unidad Azcapotzalco pero desde hace algún

Tiempo también trabajó en la unidad de Iztapalapa el doctor Alejandro realizó sus estudios de licenciatura maestría y doctorado en esta unidad en la licenciatura y en el doctorado bajo la dirección del doctor Mario pinera Ruelas y en la maestría del doctor Eduardo que está aquí presente también el doctor

Alejandro tiene varios artículos de investigación de divulgación y sus líneas de interés de interés son en en la teoría de números También le gusta las la matemáticas discretas computación y pues hoy lo tenemos con la plática los 43 trillones de configuraciones del cubo rupic una introducción a la álgebra abstracta muchas graci Gracias

Jet bueno la digamos la idea de hacer esta plática me surgió Estoy escuchando verdad surgió desde hace pues 8 o 10 meses más o menos y da la casualidad de que este año el Internacional de las Matemáticas tiene como como tema jugando con matemáticas entonces pues quedó bastante adecuado el

Y bueno lo que voy a presentar es una introducción a este tema voy a digamos asumir que el público no digamos es apenas alumnos de segundo trimestre de la carrera de cualquier carrera básicamente lo que necesito es que hayan llevado un poco de cálculo para que sepan que es una función que es

Una función bca y que es la composición de funciones sí es son básicamente lo que va a necesitar más una que otra cosita que iría mencionando que que son menos importantes lo importante para entender la plática sería esos conceptos Entonces no voy a digamos no voy a asumir que ya saben

Álgebra justamente el título es lo que dice que lo que va a dar es una breve introducción y bueno en particular de la teoría de grupos que es la parte de álgebra abstracta que se usa en en este tema ent voy a ir definiendo algunos conceptos de teoría de grupos y vamos a

Ir viendo como esos conceptos están relacionados Cómo se ven esos conceptos en el en el cubo Rubik entonces bueno primero Qué es el cubo bueno asumo que la mayoría ya lo conoce e es un cubo que tiene está dividido en sub cubos es una matriz de 3 por 3 por 3

Bueno esta versión es esa matriz que es de la que vamos a estar hablando hay muchas variantes pero nosotros tenemos es y pues para jugar con él lo que se hace es ir girando las caras y a la hora de ir girando las caras la digamos los cubitos que van formando

Esta matriz se van desacomodado y a la hora de desacomodar pues la idea del juego es regresar el cubo a la posición inicial es un problema complicado muy poca gente lo puede resolver sin ver cómo se resuelve y si lo logran es después de mucho esfuerzo

Pero por lo general la gente más bien se aprende algoritmos para para irlo resolviendo y y pues poco a poco van reconstruyendo el cubo hasta que lleguen a la posición inicial que bueno suele ser bastante difícil entes Bueno lo que vamos a hablar es como les digo la relación que

Hay entre esto y las matemáticas entonces para darnos cuenta de qué tan antigua es esta relación traigo aquí una son bastante jóvenes O sea que no no se acordarán pero para los que sean de mediado un poco más grandes recordarán más o menos a principios de los 80 fue

Cuando aquí en México se se hizo bastante famoso pero el cubo ya en 77 ya se fabricaba pero solamente se fabricaba en en Hungría que es de donde es originario en el 78 fue el congreso internacional de matemáticas que se celebra cada 4 años y pues los matemáticos húngaros

Dijeron esto le puede gustar a los matemáticos compraron muchos cubos los llevaron y empezaron a intercambiarlos por distintas cosas una de las personas que consiguió un cubo en el 78 fue s Master probablemente los que hayan buscado un poco sobre el cubo en internet han escuchado ese apellido

Ahorita vamos a ver por qué Pero bueno hasta donde yo puedo encontrar su texto es el primer texto que se escribió en cuanto a la relación de las matemáticas con el cubo de rubby y bueno la primera edición la la escribió en el 79 fue una edición que él publicó por su

Cuenta estamos hablando de un juego que solamente se conocía en Hungría entonces evidentemente nadie se lo iba a publicar pero pues a partir de 1980 se empezó a vender en distintos países se hizo muy famoso y para el 82 esas notas de s Master ya tenían una

Quinta edición y ahora no solamente ya lo publicaban editoriales más grandes sino que incluso por ejemplo se tradujo al español o sea que pues era tal la fama que lo que sea que tuviera Rubik en el título lo lo traducían en español Aunque fueran cosas propias para un

Matemático entonces bueno es les digo es una relación bastante antigua por ejemplo en el 82 hay un artículo de de hob statter de scientific American donde ya habla también del del cubo Rubik hob statter bueno probablemente los que hayan llevado el curso de lógica ya lo conocerán tiene un libro muy famoso sobre

Lógica entonces pues bueno es más o menos lo que lo que tenemos bueno el cubo de Rubik vamos a empezar a dar algunas algunos conceptos a cada uno de los de los cubos Aquí traigo uno deshecho a estos cubitos de uno por uno les llamamos justamente cubitos en

Inglés les llaman cubis y a el espacio donde van los cubitos les vamos a llamar cubículos si usted desarman el cubo se ve de esta forma aquí en el centro hay una una cruz que une las seis caras centrales del cubo y Bueno e ese cubo de Centro sería el Bueno ese

Cubículo del centro no el cubito sino el cubículo sería el primer tipo de cubículo que tenemos en total tenemos cuatro ent tenemos ese que está en el centro que es el que se encarga de sujetar elb la forma en la que funciona el cubo es bastante ingeniosa o se tenemos esta

Estructura cada uno de estos cubitos gira y el resto de los cubitos están Tienen unas patitas que básicamente quedan ahí metidas pero esas patitas de alguna forma construyen una esfera que podemos ir girando y se va reacomodando no voy a profundizar mucho en cómo funciona si quieren verlo Les

Recomiendo que armen un cubo no es mu difícil difícil desarmen uno barato No vayan a echar a perder uno caro por lo general no hay problema volverlo armar pero pero pues más vale Y bueno van a ver cómo funciona y van a ver que es un mecanismo bastante

Ingenioso ent Bueno ese sería el primer tipo de cubículo que sería el Central ahí no hay ningún cubito porque pues está el mecanismo luego tenemos esos cubículos de ahí que es donde están los de las caras en esos cubículos van estos cubitos que están fijos Aunque sí pueden

Rotar 360 gr entonces la posición se queda fija pero el ángulo de en el que van rotando s va cambiando el tercer tipo de cubículos que tenemos son las aristas que justamente están en el centro de cada una de las aristas del cubo son aquellos que tienen dos colores

Visibles nada más y de el resto de los de los lados está en negro en este caso Pero bueno en este caso tenemos solamente dos colores visibles y finalmente tenemos un cuarto tipo de cubículo que son las esquinas donde tenemos en este caso tres colores visibles sería algo como esto

Que tiene ahí se ven tres colores Entonces tenemos ese tipo de de cubículos en el caso de las aristas tenemos 12 aristas y cada una de esas dos aristas se puede orientar de dos formas no si tenemos esta Arista yo la podría colocar de esta forma o manteniendo la

Digamos la posición correcta dentro del cubo la podría haber orientado al revés Y tenemos dos formas de orientarlas y en el caso de las esquinas en principio hay seis formas de de colorearlas no los que ya hayan llevado alguna materia de conteo como podría ser probabilidad sabrán que si tienen tres

Espacios y esos tres espacios van a colocar tres colores Pues hay Tres factorial formas de de hacerlo que son seis pero pues aquí las etiquetas están pegadas yo solamente rotando puedo conseguir Tres formas de de orientarla de tal forma de que las caras coloreadas queden apuntando en las mismas

Direcciones y para obtener las otras tres lo que tendría que hacer es despegar dos calcomanías y volverlas a pegar de en las caras opuestas entonces de esas seis realmente solamente podemos utilizar tres ent hay tres orientaciones para las skinas Bueno una configuración otro concepto que voy a estar usando bastante una configuración

Le vamos a llamar a un arreglo de los cubitos dentro de los cubículos evidentemente las esquinas solamente pueden ir en las esquinas y las aristas obiamente pueden ir en las aristas no puedo intercambiar una esquina por una Arista y además de la posición también nos interesa En qué orientación se

Encuentra entonces Bueno de nuevo aquí otra cosa que voy a asumir que saben Aunque si no la saben no hay problema si no entienden Pero bueno si no lo saben simplemente créanme que eso es correcto si yo contara de Cuántas formas podemos acomodar el cubo sería 12 factorial que

Es yo tengo 12 aristas las puedo reacomodar como 12 factorial formas eso en probabilidades que leamos una permutación bu en conteo y cada una de esas aristas tiene dos orientaciones de ahí sale el do a la 12 las esquinas tenemos ocho esquinas y hay ocho cubículos donde pueden alojarse Entonces

Tenemos ocho factorial formas de acomodar las esquinas y cada una tiene tres posibles orientaciones y por el principio del producto eh la forma en la que podemos acomodar esas e la cantidad de configuraciones que tendríamos sería 519 trillones trillones en español quintillones en inglés depende de donde

Lo vengan de donde lo vean sí la en cada idioma la palabra tiene un significado distinto entonces bueno claramente el título no dice eso o sea que aquí hay algo mal de acuerdo qué es lo que está mal lo que dice la el último renglón nos está

Diciendo que de estos 500 casi 520 trillones de configuraciones hay muchas a las que no podemos llegar a partir de un cubo resuelto si yo quisiera llegar a algunas configuraciones como si no me equivoco Aquí traigo la siguiente esa configuración yo no puedo llegar a ella Desde el cubo resuelto si yo quisiera

Llegar a ella lo que tengo que hacer es deshacer el cubo y luego volverlo a armar pero de esa forma y si lo armo de esa forma ahora ya no podría resolverlo entonces pues eso es justamente lo que nos eh nos interesa estudiar y la herramienta para estudiar eso va a

Ser la teoría de grupos que es una rama de la álgebra abstracta álgebra abstracta bueno quizá algunos Ya llevaron álgebra lineal ese sería un ejemplo de estructura que estudiamos en álgebra abstracta los espacios vectoriales los grupos ha otra forma dentro de la teoría de grupos hay una

Rama un poco más avanzada que se llama tea de galua por ejemplo para mencionar otra otra relación entre el álgebra abstracta y algo con lo que están acostumbrados la teoría de galua también se puede relacionar con el origami hay digamos resultados que dicen que coordenadas de puntos podemos construir con ciertos dobleces de

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Origami Y eso se estudia con al para los que ya sepan teoría gaa que no sé cuántos haya pero es algo muy similar a lo que se hace con las construcciones con reg compá nada más que aquí en lugar de tener solamente raíces cuadradas tenemos raíces cuadradas y raíces cúbicas Pero bueno

Hay hay muchas relaciones y en particular la teoría de grupos que es quizá Bueno no es la estructura algebraica más pequeña que hay pero sí es por donde se suele empezar pues es la que vamos a estar usando ahora pues Bueno antes de de pasar a eso

Vamos a seguir con algunos conceptos de del cubo les dije que s Master iba a ser importante él fue justamente sus notas del 79 el primero en usar esta anotación Y esa anotación a la fecha se sigue usando no solamente por los matemáticos que estudian al cubo también por las

Personas aficionadas al cubo es cualquier persona que haya buscado Cómo resolver un cubo en internet seguramente ha visto esta anotación Entonces qué es lo que nos dice cada uno de esos de esas letras cada digamos tenemos seis letras y hay dos versiones de cada letra una sin apóstrofe y otra

Con apóstrofe y pues cada una significa un giro Entonces primero cada letra representa una cara con su nombre en inglés u es de que es arriba en inglés entonces la cara de arriba nos está diciendo que le giremos 90 gr ahora ese girro de 90 gr es lo que nos

Pide que hagamos ese movimiento u y el movimiento u prima lo mismo pero ahora en el sentido contrario al de las manecillas del reloj sin la prima es en el sentido de las manecillas y con la prima es en el sentido contrario y así para cada

Cara la letra b es de digo la letra d es de Down Entonces es la cara de abajo y tenemos lo mismo giramos el cubo en el sentido de las manecillas Bueno creo que es por el zoom se está viendo demasiado rápido pero se debería de ver có gira sí Entonces

El la cara de abajo girada en el sentido de las manecillas del reloj viéndola desde abajo en este caso yo tendría que ver la cara de abajo y aquí es donde giro en el sentido de las manecillas del reloj y así es como se está moviendo luego l es left en inglés entonces

Giramos la cara de la izquierda en el sentido de las manecillas del reloj y y con l prima giramos la cara de la izquierda en el sentido contrario y r y r prima sería lo mismo Ah me equivoqué de letra r y r prima sería mover la car la

Cara de la derecha en el sentido de las millas del ro con r y en el sentido contrario con r prima la f sería mover la cara de enfrente y finalmente la la B sería como mover la cara de atrás y b prima mover la cara de

Atrás en el sentido contrario a las manesillas del reloj en general pues primero tendríamos que acomodar el cubo en la posición que nosotros queremos y luego aplicar la el giro en la plática el cubo siempre va a estar orientado de la misma forma para mí la cara de arriba

Siempre va a ser la blanca y la de enfrente la roja entonces en esta plática en particular además lo podíamos colocar por colores los colores Por cierto hoy en día ya se suelen colocar de una forma estándar en un principio no era así eh al principio ponían las etiquetas

Como quisieran y ya ya no importaba pero pues especialmente para la gente que participa en competencias es importante tener los colores de forma estándar y y bueno lo lo estándar es tener blanco opuesto al amarillo que está abajo el rojo opuesto al anaranjado que está atrás y el verde opuesto al azul que

Está a la derecha y además en esa orientación si yo veo el blanco en el sentido de las manecillas del reloj sigue el rojo y sigue el verde bueno Entonces otro concepto que voy a estar usando es el de movimiento un movimiento sería lo obvio va a ser una

Sucesión de alguno de estos 12 giros de las caras entonces bueno cada movimiento que yo voy a describir se puede describir con una palabra esa palabra Ur V prima F a ver si se ve Bueno les digo es en mi computadora no se ve mal nada más que por el zoom no se

Ven los movimientos de forma muy eh fluida pero bueno a ver lo podría hacer así Si yo pongo u de todos modos no se ve bien pero bueno créanme que si se viera más lento al final Pues llegaríamos a esa configuración estamos moviendo la cara

De arriba la de la derecha la de atrás en el sentido contrario las manecillas de reloj y luego la de enfrente lo podemos aplicar varias veces y dependiendo de la configuración inicial es la configuración final a la que vamos a llegar para los que ya hayan visto el

Curso de TR grupos simplemente mencionar que esto ya nos da una idea de que lo que tenemos es un grupo de transformaciones y por lo tanto tenemos una acción de grupos Pero bueno no me voy a meter en eso no es necesario para la práctica y traigo bastante material De hecho no voy

Aer terar traigo material como par y media o sea que no me detendré en esos conceptos bueno esa palabra representaría este movimiento Bueno les digo ahorita no se ve bien Lamentablemente al final de la plática les voy a dejar la presentación Entonces si quieren ver los movimientos con más calma en su

Computadora Seguramente se vería mejor bueno esa palabra lo que haría sería mover dos es es la cara de arriba luego la cara de atrás la cara de la izquierda en el sentido contrario a las manecillas del reloj la de la derecha la de abajo y la de izquierda en el sentido contrario de

Acuerdo bueno eso de ahí Creo que lamentablemente no se va a ver con calma Pero bueno si lo aplicamos lo que importa es ver a dónde vamos a llegar al final regresamos a la configuración ación inicial o sea que puede haber distintos movimientos que hacen lo mismo eso que

Yo hice con toda esa palabra también lo podría conseguir girando por ejemplo la cara de arriba cuatro veces si la giro cuatro veces pues regreso la configuración inicial o sea que hay varias formas de llegar al mismo lugar y ahorita lo vamos a ver podríamos pensar que hay dos

Formas en las que nos va a interesar estudiar los movimientos una sería que nos interesa conocer la palabra específicamente o sea conocer la palabra saber cuántos giros hicimos todo eso podría ser interesante y desde una segunda perspectiva podríamos No interesarnos en eso simplemente preguntar cuál es la configuración

Inicial Y a qué configuración nos va a llevar el movimiento sin importar Cuáles fueron los pasos intermedios entonces esa distintas movimientos que nos llevan la misma configuración pues serían equivalentes bueno Otra palabra que hace lo mismo que eso que acabamos de mencionar de dos formas usando la palabra anterior usando

U u u u o tendríamos una cuarta palabra que sería la palabra vacía la palabra vacía Bueno yo la denoto con lambda Aunque quizá la letra más habitual es éon Pero bueno mis alumnos me han obligado a usar Landa que dicen que si no la épsilon Se confunde con la Sigma mayúscula por

Mucho que le pongo patitas a la Sigma Pero pero bueno ya con lambda ya no se confunde pero bueno la palabra vacía Es simplemente una palabra que no tiene letras es una palabra de longitud cero y en el caso del cubo sería voy a hacer un movimiento Ya terminé no hice

Nada pero eso es un movimiento de acuerdo bueno otro paréntesis para los que sean alumnos de computación y ya vayan más o menos avanzados pues esto les estará dando una idea de que el cubo de Rubik también se puede estudiar como si fuera un autómata finito determinista las configuraciones del

Cubo son los estados del autómata las palabras son el alfabeto y las transiciones pues son justamente los giros de las caras Pero bueno Esa no es la perspectiva que vamos a usar Hoy entonces no no me voy a preocupar por eso Bueno aquí hay otro ejemplo de dos

Palabras que hacen lo mismo una es girar la cara de arriba tres veces una vez dos veces tres veces llegamos a que la parte anaranjada queda arriba de lo verde y si yo en lugar de eso uso u prima pues consigo lo mismo entonces son dos palabras que nos

Llevan a la misma configuración Empezamos el mismo lugar terminamos en el mismo lugar bueno entonces Bueno ya habíamos mencionado esas tres de í arriba y otro concepto que voy a dar por hecho que ya saben aunque los que no lo hayan visto todavía no hay tanto problema es el de relación de

Equivalencia nosotros podemos definir una relación de equivalencia con las palabras diciendo que dos palabras están relacionadas si desde el cubo resuelto nos llevan a la misma configuración Entonces por ejemplo esas tres palabras de arriba están relacionadas y la anotación que voy a estar usando es la clase de equivalencias con esa

Relación es la palabra con una barra arriba para los que no hayan visto relaciones de equivalencia qué es lo que estoy haciendo aquí estamos haciendo básicamente lo mismo que hacen con los números racionales los racionales los pueden escribir por ejemplo el 1 medio lo pueden escribir como 2 cuart como 3/6

Hay varias formas de escribirlo y habría dos formas de preguntarnos que estamos haciendo una es donde el numerador y el denominador nos interesa si ustedes les preguntan Cuál es el numerador del número no es la misma respuesta si les dan 1 medio que do cuart eso sería como si nos paramos por

Cuáles son los movimientos intermedios pero por lo general usamos una relación de equivalencia y todos esos números 1 medio 2 cuartos 3 sexos los consideramos con el mismo número Y eso de considerarlos como el mismo número es hacer una relación de equivalencia y decir que todos esos

Números están en la misma clase de equivalencia Pero bueno lo que nos interesa es a veces nos interesa Cuáles son los giros que hacemos y a veces solamente nos interesa dónde empezamos Y dónde terminamos y bueno y más notación si tenemos las palabras la expresión x a la n donde x

Es cualquiera de las seis letras que estamos usando significa aplicar el giro n x veces los que hayan buscado Cómo resolver el cubo en internet seguramente también han visto esto si les dicen d cuadrada significa gira dos veces la cara d de acuerdo y bueno y en general

Podría ser para cualquier n y además podemos poner potencias negativas x a la -1 es hacerla en el sentido opuesto si yo tenía d d sería en el sentido de las manecillas del reloj d a la men1 sería d prima que sería en el sentido contrario Y de

Nuevo si yo tengo x a la – n pues es tomar el inverso y aplicarlo n d veces entonces d a la -3 sería d prima d prima d prima de acuerdo y Bueno entonces vamos a empezar a ver resultados por el tiempo que tengo yo creo que solamente va a alcanzar a

Ver tres resultados y el tercero es corolario del segundo que es justamente el que le da título al al texto Pero bueno vamos a empezar con este que es un resultado que está relacionado con álgebra aunque no voy a a dar los detalles el número de Dios se define

Como la el número mínimo tal que si yo tengo cualquier configuración del cubo de rubic usando esos eh 18 movimientos lo puedo resolver en esa cantidad de movimientos o menos en este caso además de los 12 movimientos que ya hemos definido los giros de 180 gr también se consideran como un solo

Movimiento entonces u cuadrada d cuadrada l cuad r cuada cuadrada y b cuadrada se consideran como un solo movimiento y bueno probablemente varios ya conozcan este resultado o si no pues aquí se los presento el resultado es que el número de Dios es 20 o sea cualquiera de los 43 trillones de

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Configuraciones que tienen solución que ya dijimos que existen Aunque todavía no los contamos bien todos esos 43 trillones de configuraciones se pueden resolver en a lo más 20 movimientos de esos 18 Entonces algo que que pasa con el cubo de rubbi es que o los números son sorprendentemente grandes o son

Sorprendentemente pequeños cces este sería uno de los pequeños hay a pesar de que hay tantas configuraciones son 43 trillones pues cualquiera de ellas con 20 movimientos la podemos resolver la gente normal no sue usar 20 movimientos si conocen alguna forma para resolver el cubo por lo general se tardan 40 60

Movimientos le llaman el número de Dios porque pues para poder hacer esto habría que tener muy buena memoria y y pues poder resolverlo en la cantidad obvia Pero bueno una configuración que requiere de 20 movimientos y no se puede resolver con menos es el superflip que es esta configuración de

Acá todos los los cubitos están en su cubículo inicial la única diferencia es que bueno todas las esquinas están orientadas como al principio Pero todas las aristas están invertidas y para resolver eso hay que usar por ejemplo esa par de arriba no es la única solución pero es es una

Solución con 20 con 20 movimientos considerando que los cuadrados son un solo movimiento entonces Bueno de nuevo Lamentablemente la animación no se ve del todo fluida pero si aplican esos 20 movimientos pues resuelven el cubo que estaba en la configuración del del superflip entonces Bueno cómo consiguieron las personas que encon este

Resultado demostrar esto si se pudiera hacer con Fuerza bruta lo habrían hecho des hace mucho tiempo y el problema es que la Fuerza bruta requiere muchos años el cálculo de las personas que hicieron esto sería que si ponemos todos cubos y lo intentamos hacer con Fuerza bruta requerían como 3 millones de años

De de tiempo de computadora evidentemente una supercomputadora lo hace muchos cálculos al mismo tiempo pero aún así requeríamos muchos Us adores para 3 millones de años lo que hicieron ellos fue bueno primero analizar las simetrías eso desde hace mucho tiempo se podía haber hecho pero ellos además encontraron un

Algoritmo que lo que hace es no resolver los cubos uno por uno sino que al resolver un cubo en realidad están resolviendo toda una familia de cubos entonces en lugar de requerir 43 digo 3 millones de años pues requerían millones de años que con una supercomputadora pues ya es trabajo de unas cuantas

Semanas entonces bueno consiguieron que les prestaran las supercomputadoras para hacer los cálculos y efectivamente consiguieron demostrar que 20 es el número de views este trabajo de hecho es bastante ha sido bastante largo en la página de los autores que al final les voy a poner la referencia viene toda

Todo el historial eh de de las cotas Cómo se fueron apachurrando Pero pero bueno digamos las primeras cotas ya se conocían desde los 80 y tardaron pues ese resultado es de 2014 bueno se publicó en 2014 creo que los cálculos hicieron 2012 entonces pues sí tardaron varias décadas en poder hacer ese ese

Resultado hay varias métricas para para el número de Dios la segunda métrica más común sería Cuando tenemos la métrica de cuartos de giro O sea que ahora en lugar de los 18 movimientos solamente permitimos los 12 originales Esto evidentemente va a requerir más más giros Y en este caso necesitamos 26

Giros ya no digamos la configuración que que requiere esta cantidad de giros ya no es la misma Este es el superflip con un intercambio de cuatro caras no voy a dar los detalles de cómo se obtiene Pero est sería la configuración y usando ahora cuartos de giro nada más

Requerimos 26 giros para resolverlo y no se puede resolver en menos de 26 giros de acuerdo Bueno voy a hablar un poco de grupos eh Para poder presentar el último resultado como les había dicho Quiero ver algunos conceptos por el tiempo no vo dar no voy a poder ver mucho pero

Pero bueno voy a presentar rápidamente Qué es un grupo y Qué es un grupo de permutaciones que son los que nos interesan entonces Bueno un grupo es un conjunto con una operación que cumple las cuatro propiedades de arriba la operación es cerrada O sea que si yo perdo dos elementos del conjunto el

Resultado vuelve a queder en el conjunto la operación es asociativa tenemos un neutro el neutro sería como sumar cero o multiplicar por uno en este caso en el cubo el neutro sería el movimiento de la palabra vacía y además cada movimiento bueno cada elemento del grupo tiene un inverso el

Inverso del giro d sería d prima cada digamos cada cada tiene su inverso entonces pues vamos a ver que efectivamente el cubo nos va a dar un un grupo y bueno si además tenemos la propiedad de que la operación es conmutativa decimos que el grupo es abeliano ejemplos de grupo que

Probablemente conozcan bueno los de arriba seguramente Sí porque los ven en la primaria los enteros con la suma son un grupo Los reales con la suma Los Reales distintos de cero con el prod son un grupo el cero causa problemas porque no tiene inverso Pero si quitamos el

Cero ya no hay problema rn con la suma para los que ya hayan visto álgebra lineal son los vectores de Dimensión n con la suma las matrices de tamaño n por m con la suma eh las matrices de n por n invertibles con el producto también son

Un grupo y los polinomios con la suma son otro ejemplo de grupos son grupos famosos que conocen de nuevo no puedo ver muchos detalles pero al final de la plática les doy algunas referencias de libros de teoría de grupos donde pueden ver más más detalles sobre

Eso a nosotros lo que nos interesan son los grupos de permutaciones y para eso primero hay que definir que es una permutación es la misma palabra que usan en los cursos de probabilidad o de combinatoria pero en este caso lo vemos de una forma distinta aquí una

Permutación es una función ent vamos a tener un conjunto in que son los números desde el 1 hasta el n y decimos que una permutación Dn es una función vitiva que tiene tanto dominio como codominio y n entonces aquí es donde les decía Espero que sepan lo que es una una función

Vitiva normalmente las permutaciones las denotamos de esta forma lo que nos dice eso de í arriba es lo mismo que está aquí abajo Nada más que lo decimos de forma abreviada nos está diciendo que F 1 es igual a 3 Entonces nos está diciendo lo de arriba es El dominio lo

De abajo el codominio y una permutación hac una función vitiva con mismo dominio y mismo codominio lo único que hace es reacomodar los números que están arriba a la parte de abajo entonces f1 = 3 f2 = 8 f3 = 4 F4 = 7 F de5 = 5 y así cada uno

De esas columnas nos indica un valor de la función y bueno por ejemplo esa función que tenemos ahí tenemos los los elementos de in acomodados en su posición original el uno está en uno el dos en dos el tres en tres y lo que hacemos Es reacomodar losos para que

Pues el uno se haya ido aquí a la posición tres el dos se fue a la posición 8o el tres a la posición cuatro eso es lo que está haciendo la permutación de acuerdo pero dijimos que un grupo era un conjunto y una operación Entonces nos falta la operación ya tenemos el

Conjunto pues nuestra operación dado que estamos trabajando con funciones podemos usar la operación de funciones que primero aprenden en los cursos de cálculo que es bueno quizás no es la primera pero es una de las primeras que aprenden que es la composición de acuerdo entonces con la composición de

Funciones las permutaciones a la hora de componerlas nos dan una permutación con lo que la operación es cerrada la composición de funciones es asociativa el neutro es la función identidad y pues dado que las funciones son bivas toda permutación tiene un inverso Entonces el grupo simétrico que es como le llamamos

Al grupo de las permutaciones es un es un grupo y si se preguntan si es o no es no La respuesta es que no ahorita vamos a ver un ejemplo Bueno aquí vamos a ver un ejemplo de composición la composición Es simplemente Yo tengo dos funciones primero aplico la primera

Función que recuerden la primera se escribe de lado derecho no del lado izquierdo se lee de derecha a izquierda el orden de las eh las composiciones A menos que el libro diga lo contrario son muy pocos los libros que hacen lo contrario pero pero si existen en particular uno de los

Que les voy a poner las referencias hace eso pero lo habitual es ponerlo en este sentido entonces Bueno qué es lo que hago yo quiero encontrar Sigma compuesto contado de uno entonces Primero calculamos aquí el 1 nos lleva al TR mi resultado fue TR entonces me voy al TR

En la segunda función y el tres lo manda al se Y de esa forma tenemos la el dos lo manda al oo Y luego el o manda al dos o sea que aquí abajo la composición de dos nos queda dos y así sucesivamente entonces lo que tenemos ya

Estoy yendo demasiado rápido en la composición es yo primero aplico la primera composición que es la de la derecha una vez más y luego aplico la segunda pero ahora manteniendo los números en esta nueva configuración aplico la segunda y se reacomoda entonces aplico la primera configuración y luego la otra la otra

Permutación eso sería la composición de funciones que les digo asumo que ya la conocen pero pues aquí hay un ejemplo Bueno una forma de pensar al cubo como un grupo de permutaciones sería colorear las caras con números entonces cualquier movimiento que yo haga lo que va a estar haciendo es reacomodar los

Números de acuerdo Entonces eso sería una permutación ahorita vamos a ver que de hecho hay otra forma de de estudiar lo que es más conveniente para nosotros pero bueno aquí habría una primera forma de ver por qué la tea de grupos Es la que nos interesa para estudiar

Eso ición este va a ser un concepto que voy a necesitar un poco más adelante una transposición es una permutación que deja todo fijo y solamente va a intercambiar dos dos posiciones Entonces en este ejemplo el tres y el si se intercambian y todo lo demás queda fi esa es una transposición

Y bueno lo habitual es las transposiciones escribirlas de esta forma que es un caso particular de otra anotación que no me da tiempo de de explicar pero bueno en la bibliografía si quieren más detalles pueden pueden ver eso y el resultado es es un resultado muy importante de teoría de

Grupos si yo tengo cualquier permutación la puedo escribir como un una composición de transposiciones hay varias formas de escribir una permutación como composición de transposiciones pero lo que va a ser constante es que si en la primera forma de escribir la que yo encontré el número de transposiciones es

Parar en cualquier otra eh expresión que yo encuentre la cantidad va a ser par Entonces por ejemplo bueno ya este ser impar si la primera que yo encuentro tiene un número impar de transposiciones todas ellas van a tener un número impar de transposiciones Entonces por ejemplo

1 2 lo puede escribir como 2 3 compuesta con 1 2 compuesta con 1 3 o como 2 3 compuesta con 3 cu compuesta con 1 2 con 1 3 y con un o cuatro todas ellas son la misma permutación pero pues están escritas de forma distinta

Pero a pesar de eso lo que dice el resultado es si la primera es impar todas son impares y bueno Esta es la anotación que les dije que no voy a poder explicar ahorita pero esta nuestra primera forma de escribirla sería con dos transposiciones y cualquier otra

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Expresión que yo encuentre que de la misma permutación va a tener un número par de transposiciones entonces a estas de aquí abajo les voy a llamar una permutación par porque cualquier expresión tiene un número par de transposiciones y a la de arriba les vamos a llamar eh permutaciones impares y

Eh usualmente se usa la función signo para indicar cuál de las dos tenemos si la función es par vamos a usar decir que el signo de de función es uno y si es impar es -1 y bueno y cumple las propiedades de que si componemos dos

Pares nos da par si componemos par con impar nos da impar Y si componemos dos impares nos da par como si multiplicamos un o menos un Bueno si nos quedamos solamente con las con las permutaciones pares se forma un nuevo grupo que se llama el grupo alternante y aquí es importante porque

De alguna forma el grupo que vamos a estar usando es el grupo alternante otro juego que está involucrado con la teor de grupos es el juego de 15 no sé si lo conocen es 15 sí eh les mostré ya pero no tengo tiempo es un juego mucho más viejo que el cubo de

Ruby que es del siglo XIX era una un cuadrado con una matriz de 4x 4 o se acaben 16 cuadritos Pero solamente tiene 15 colocados con números de 1 al 15 Entonces ustedes pueden desacomodar losos y luego volverlos a acomodar y también en ese juego se puede estudiar

Conad de grupos y La respuesta es que los cambios de configuración que pueden hacer en ese juego son los del grupo alternante que va a ser algo parecido al cubo de Rubi Entonces por ejemplo eh antes del primer libro que yo les dije que ya se había escrito ya

Comentaba que la gente ya se había dado cuenta de que pues resolver el cubo de Ruby con álgebra era parecido a a lo que se hacía con el juego de 15 que desde el siglo X ya lo habían estudiado usando matemáticas y teoría de grupos no es en la bibliografía pero

También hay un artículo donde da una demostración relativamente simple de de ese hecho como les dije les vo a dejar la presentación y ahí les vo a agregar esa es bueno otro concepto de tea de grupos un subgrupo es un subconjunto del grupo pero que con la operación sigue siendo

Un grupo Entonces es simplemente un subconjunto que es grupo normalmente lo denotamos con menor igual y con lo que hemos visto el grupo alternante es un subgrupo del grupo simétrico las permutaciones pares son un subgrupo de las permutaciones y bueno y al cubo de le

Vamos a denotar con r y visto de esta forma el cubo de Rubik es un subgrupo de s48 Bueno les había dicho que que el grupo no es aviano dado que no se ven muy bien los movimientos lo va a poner directamente así si hacemos ul tenemos esta configuración de acá y si

Hacemos luu tenemos esa configuración de allá claramente no son lo mismo entonces pues nuestro grupo no es abelian y bueno vamos a pasar a las a los últimos resultados que cre me va a dar tiempo de ver ya casi van a ser los 50 minutos Entonces les había dicho que hay otra forma

De de de dar [Música] esta esta cómo se llama eh de de representar al cubo de rubbi con usant de grupos y es otra forma es con esta cuarteta Entonces vamos a representar cualquier configuración usando no una permutación sino dos y no van a ser de

Las caras sino de los de los cubitos por un lado vamos a tener una permutación de las esquinas y por otro lado una permutación de las aristas luego la tercera entrada va a ser un una enada x la cuarta entrada una enada y que va a representar la orientación de cada esquina entonces

Para explicarla simplemente voy a usar el dibujo la x es yo tomo las esquinas en cada esquina voy a colocar un cero dónde voy a colocar un cero en cada esquina que tenga una cara arriba Vamos a tomarla de arriba y en las que tengan una cara ahí

Abajo vamos a tomar la que esté abajo y luego el resto de los números aquí si este fue el cer0 el uno y el dos los vamos a estar colocando en el sentido de las manecillas del reloj Aquí está el cero el uno se mueve hacia

Acá atrás que es hacia donde van las manecillas del reloj y luego el dos qué es lo que va a decir ahorita el Bueno ahorita vemos el teorema con las aristas hacemos lo mismo vamos a colocar un cero en este caso igual la convención que vamos a usar es las que tengan cara

Arriba la de arriba las que tengan cara abajo la de abajo y las de la cinta de medio vamos a usar las de enfrente y las de atrás ahí le vamos a poner el cero y a la cara opuesta Le ponemos el uno entonces el resultado que es la

Primera ley de la cub olía que es de bandelow del 82 este resultado lo encontraron muy rápido es que las configuraciones a las que podemos llegar son aquellas donde Sigma y Tao tienen la misma la misma paridad o Las dos son pares o Las dos son impares

Eh la x la suma de las x del vector x va a sumar 3 y la de las y va a sumar eh No va a sumar tres va a sumar un múltiplo de tres y la suma de las 10 va a sumar un número par

Entonces pues en el caso de las esquinas nos decía que debe sumar un múltiplo de tres no importa cómo mueva yo el cubo hago cualquier movimiento me fijo en las posiciones que originalmente estn en rojo ya no son puros ceros en este caso la cara de arriba suma tres y tengo que fijarme

También en la cara de abajo que suma también tres entonces la suma es seis es múltiplo de tres y cualquier movimiento que yo haga si pued va a hacer algunos movimientos Ah bueno a ver no quiero que sume ahí está la cara de arriba suma cinco y la

Cara de abajo suma cuatro 5 + 4 nueve es múltiplo de tres entonces ahí está el primer el primer caso para las aristas Pues debe de sumar par si hago algún una serie de movimientos que no me queden puros ceros [Música] arriba Ahí está me fijo Cuánto suman la cara de

Arriba suma uno la de enfrente suma dos vamos llevamos tres la de abajo suma uno llevamos cuatro y la de atrás que es la que se ve ahí suma cero cces la suma de esas caras es cuatro Entonces eso es lo que nos dice la primera ley de la cub

Lía que se cumplen estas tres condiciones y Pues sería otro resultado que para demostrarlo requerimos de teoría de grupos bueno claramente desde la definición tenemos teoría de grupos Bueno ya voy a terminar Ya ya se me acabó el tiempo pero nada más rápidamente pues para concluir con lo que habíamos

Mencionado habíamos hecho una cuenta de Cuántas configuraciones hay que nos daba 519 trillones con el la primera ley de la cub olía Pues nos dice no podemos tener todas las configuraciones de las permutaciones por la paridad la mitad no son válidas en cuanto a las esquinas deben de sumar un múltiplo de tres

Quiere decir que las que no suman múltiplo de tres no son válidas nos quedamos con un tercio y de las aristas deben de sumar un número par quiere decir que las que sumen un número impar no son válidas entonces nos quedamos con un medio y de ahí sale como consecuencia de la primera

Ley de la cub olía que tenemos 43 trillones de configuraciones válidas en el cubo de acuerdo bueno Entonces ahora sí termino nada más bueno como les digo les voy a compartir la presentación eh Aquí quedaron muchas cosas por ver bueno dos datos interesantes rápidos que veo eh el

Primero para los que ya sepan de [Música] grupos Aquí está el orden de cualquier elemento del grupo es un divisor de 1260 les dije que los números son o sorprendentemente grandes o sorprendentemente pequeños ent este es uno que Comparado con 43 illones es muy pequeño con que ustedes repitan 1260

Veces un mismo movimiento seguro van a llegar a la configuración inicial es básicamente lo que dice y el otro resultado rápido [Música] eem están aquí sí si yo hago todo ese movimiento sería lo mismo que mover la cara de abajo pero si ustedes se fijan yo en esos movimientos nunca usé la cara

De abajo O sea que para también para los que ya sepan te de grupos para generar grupo Yo no necesito seis generadores que serían los movimientos de las seis caras con cinco caras que pueda mover ya puedo encontrar el grupo completo y bueno Y ahora sí con eso termino nada

Más les dejaría la bibliografía Bueno luego la pueden ver con Más C les digo en esa dirección les voy a dejar este Bueno ya ya está la presentación ahí lo que hay son instrucciones para Cómo hacer los giros en cada en cada lámina en particular si aprietan y allí abajo

Aparece el número de lámina y están las instrucciones y y bueno pueden revisar todo lo que faltó si es que si es que quieren y pues tendríamos e en la bibliografía aquí algunos libros que hablan sobre esta perspectiva Eh mi recomendación es que vean el

Segundo y el tercero que son más o menos recientes y los pueden conseguir en net en la página de sus autores O sea que ellos lo están proporcionando y toda la información que está aquí prácticamente vi en esos dos en esas dos referencias en cuanto a el número de

Dios Bueno allí arriba hay un artículo que generaliza el la primera ley de la cub olía para cubos de n por n por n del número de Dios Ahí están las referencias esta página de aquí abajo tiene bastante información eh aquí un par de ejemplos de de artículos que usan al cubo de

Rubic como como inspiración el primero es de física y el segundo es de criptografía y pues en esta cuarta les digo algunos libros clásicos de álgebra además de dos libros que publica laap y bueno entonces todo eso lo pueden revisar más tarde con calma Eh Al principio de la presentación

También viene mi correo entonces no s si más adelante Tienen alguna duda me pueden escribir no sé si alguien tiene alguna alguna duda Sí bueno este una pregunta maestro Disculpe estas otras aplicaciones que pueda ver maestro de estos temas en otras áreas también podrían verse además

De los juegos en un momento dado o qué otras me poda recomendar Muchas gracias por la Disculpe maestro gracias Sí bueno de de teoría de grupos aplicaciones Hay muchísimas para empezar ya dijimos ejemplos de grupos son los enteros con la suma opciones de los enteros con la suma

Y con el producto que se ir un poco más allá Pues ahí de sobra no pero directamente de teoría de grupos también puede haber otras aplicaciones no conozco los detalles pero por ejemplo también es famoso que los químicos usan Eh Pues también eh No sé si son exactamente permutaciones pero si usan pues

Simetrías para para estudiar la la posición en la que están los compuestos por ejemplo digo solamente por mencionar alguna la criptografía es porad de grupos o sea en general aplicaciones ahí de sobra o sea el concepto de grupo es demasiado general y es tan general que suele aparecer en en muchos en muchos

Lugares pues agradecemos al doctor Alejandro Aguilar por su plática si alguno de ustedes tiene alguna otra pregunta o comentario luego les pasamos el correo del doctor para que le puedan escribir y pues ya les resuelva las dudas No entonces pues muchas gracias por su asistencia y sobre todo el doctor

Alejandro Aguilar por su plática y le entregamos su constancia Muchas gracias al [Música] Oh

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Written by d2jma

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Espacio UABCS – Dr. Alberto Torres y personaje. Rubén Rivera – 16.12.2022.

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